Programme scientifique

Mini-cours

Yann Chaubet - Résonances de Ruelle et comptage des orbites périodiques

Ce mini-cours portera sur les résonances de Ruelle, un spectre associé à certains flots chaotiques, et sur leur lien avec les orbites périodiques du flot. Nous commencerons par explorer un modèle discret — un graphe fini — où le spectre de la matrice d’adjacence gouverne la distribution des cycles du graphe. Cette perspective servira d’introduction à la situation plus riche du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques. Dans ce cadre, nous montrerons l’existence d’un spectre de résonances qui encode finement le comportement asymptotique de la dynamique, en construisant explicitement des espaces fonctionnels anisotropes adaptés. Enfin, nous exploiterons cette construction pour démontrer le théorème des géodésiques primitives pour les surfaces hyperboliques.

Amandine Escalier - Une introduction à l'équivalence orbitale quantitative

Deux groupes sont orbitalement équivalents s’ils agissent tous deux sur un même espace de probabilité, en préservant la mesure et avec les mêmes orbites. Un célèbre théorème d’Ornstein-Weiss stipule que tous les groupes moyennables, infinis, dénombrables sont orbitalement équivalents. Ainsi, l’équivalence orbitale n’est-elle pas sensible à la géométrie.
Afin d’affiner cette relation d’équivalence nous pouvons considérer sa version quantitative, qui cherche à quantifier «à quel point» les orbites sont proches en mesurant leurs différences de structure. Dans ce mini-cours nous présenterons un panorama sur l’équivalence orbitale quantitative. Nous mettrons en valeur les liens entre géométrie des groupes (croissance, isopérimétrie) et quantification. Nous parlerons ensuite des outils de construction et quantification d’équivalences orbitales entre groupes moyennables. Si le temps le permet, nous parlerons de phénomènes de rigidité, de groupes d’Artin à angles droits, voire de produits graphés.
Des notes de cours et les présentations pdf seront presque sûrement disponibles à l’adresse suivante : https://aescalier.perso.math.cnrs.fr/Conferences.

Pierre-Antoine Guihéneuf - Théorie de la rotation sur le tore

Prenons une orbite d'un homéo du tore \(S^1 \times S^1\) et regardons asymptotiquement combien de tours elle fait dans chaque cercle par unité de temps. L'ensemble d'accumulation de toutes ces vitesses asymptotiques (qui sont des points du plan) pour toutes les orbites possibles est appelé ensemble de rotation de l'homéo. C'est un invariant dynamique qui renseigne sur tout un tas de jolies propriétés de l'homéo : points périodiques, entropie... dont je vais essayer d'expliquer quelques preuves.

Mingkun Liu - Géométrie et spectre des surfaces hyperboliques aléatoires

Après avoir précisé comment tirer au hasard une surface hyperbolique de genre \(g\), on étudiera la géométrie et le spectre (du laplacien) d'une telle surface aléatoire. En particulier, on verra que, lorsque \(g\) tend vers l'infini, sa systole (la longueur de la plus courte géodésique fermée) est en moyenne d'environ 1.61498, et que son trou spectral est, avec grande probabilité, très proche de \(1/4\).

Exposés

Hermès Lajoinie - Bolicité forte, conjecture de Baum-Connes et groupes relativement hyperboliques

Les espaces métriques fortement boliques sont des espaces métriques dont les boules satisfont une condition de lissité et de convexité. En particulier, les espaces \(\mathrm{CAT}(0)\) sont fortement boliques. L’intérêt de ces espaces provient d’un théorème de Vincent Lafforgue : soit \(G\) un groupe de type fini possédant la propriété (RD) ; si \(G\) admet une bonne action sur un espace métrique fortement bolique, alors \(G\) satisfait la conjecture de Baum–Connes.
L'hyperbolicité relative a été définie par Gromov en 1987. Il s’agit d’une généralisation de la géométrie des groupes hyperboliques à une classe plus large de groupes. L’idée générale est qu’un groupe \(G\) est hyperbolique relativement à une famille de sous-groupes \(P\) si la géométrie de \(G\) est hyperbolique en dehors des sous-groupes de \(P\) et de leurs translatés.
Dans mon exposé, je présenterai un travail où je construis une bonne action sur un espace fortement bolique pour certains groupes relativement hyperboliques. Je détaillerai en particulier la construction dans le cas des groupes hyperboliques.

Julien Lechaux - Autour de l'ergodicité quantique

Dans cet exposé, je proposerai une introduction à l’ergodicité quantique. On considère une variété riemannienne compacte lisse, ainsi que l’opérateur de Laplace–Beltrami associé, qui possède un spectre discret et une base hilbertienne de fonctions propres. Du point de vue de la mécanique quantique, les densités de probabilité associées à ces fonctions propres décrivent la probabilité de présence d’une particule en un point de la variété. Une question centrale est de comprendre comment ces mesures se répartissent lorsque l’énergie tend vers l’infini, et en quoi ce comportement reflète la dynamique du flot géodésique. Afin d’illustrer ces notions, je présenterai un exemple dans un cadre euclidien muni d’un champ magnétique, où apparaissent concrètement les différentes notions évoquées.

Ira Mamsurova - Comptage dans les billards polygonaux avec les propriétés diophantiennes

Un billard polygonal est un polygone avec un point lancé dans une direction donnée à partir d’un point donné. Les réflexions sur les côtés sont décrites par la loi « l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion » ; si la balle atteint un sommet, sa trajectoire future n’est pas définie. Pour étudier « la complexité » de billard on étudie la croissance du nombre de trajectoires de longueur bornée qui commencent et terminent à deux sommets. Pour un billard rationnel, c’est-à-dire aux angles commensurables à \(\pi\), la complexité a une croissance quadratique, pour tous les autres billards il n’y a qu’une estimation sous-exponentielle, ce qui donne un grand écart pour ces deux cas. Récemment, D. Scheglov a donné une estimation faiblement exponentielle pour presque tout triangle (arXiv:1202.1244). Dans l’exposé je vais expliquer comment obtenir ce résultat à l’aide d’approximations diophantiennes et comment les inégalités de Liouville aident à construire une famille des exemples de triangles non rationnels de croissance faiblement exponentielle.

Nelson Schuback - Un point de vue feuilleté sur la théorie de Brouwer homotopique

Les homéomorphismes de Brouwer sont des homéomorphismes du plan, préservant l’orientation et sans point fixe. Au cours des dernières années, leur dynamique a été principalement étudiée selon deux approches complémentaires : l’une introduite par Handel, l’autre par Le Calvez, offrant chacune une perspective distincte sur leur comportement. Dans cet exposé, nous présentons un cadre unifié permettant aux méthodes feuilletées développées par Le Calvez de retrouver, et dans certains cas d’étendre, les résultats classiques de la théorie de Handel.

Horaires

Infos pratiques

Inscriptions

Les inscriptions sont désormais closes.

Accès

L'école se tiendra au Centre Paul Langevin. Pour accéder au centre, il faut venir en train jusqu'à la gare de Modane, puis prendre le bus ou le taxi. Nous affrétons un bus pour le dimanche soir à 19h, dites-nous si vous comptez le prendre. Dîner au centre à 20h. Nous affrétons également un bus le vendredi, qui arrivera en gare de Modane vers 13h30.

Participant·e·s

• Adrien Boulanger
• Alan Pinoy
• Amandine Escalier
• Antoine Julia
• Baptiste Dugué
• Carlos Fougeron
• Clément Pérault
• Edmond Covanov
• Florestan Martin-Baillon
• Guillaume Kineider
• Hélène Eynard-Bontemps
• Hermès Lajoinie
• Ira Mamsurova
• Julie Semaan
• Julien Lechaux
• Katia Hadj Said
• Léo Bénard
• Léo Thiébaud
• Louis Ioos
• Luca Froger
• Magali Jay
• Marie Trin
• Martin Mion-Mouton
• Mingkun Liu
• Nelson Schuback
• Nikolaï Prochorov
• Nolwenn Le Quellec
• Pierre Lazag
• Pierre-Antoine Guihéneuf
• Sandro Pupulin
• Sarah Timhadjelt
• Sélim Ghazouani
• Silvia Gangeri
• Ulysse Remfort
• Yann Chaubet
• Yenni Cherik